jueves, 14 de abril de 2016

Transformada de Laplace


 La transformada de Laplace es un operador qué se define de la siguiente manera:
$$F(s)=\mathcal{L}\lbrace f(t)\rbrace=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$$
evidentemente se necesita que la función $f$ sea tal qué la integral en cuestión exista. O sea que no podemos aplicar transformada de Laplace a cualquier función que se nos ocurra. La transformada de Laplace convierte algunas ecuaciones diferenciales a ecuaciones algebraicas, qué son mucho más fáciles de resolver y luego encuentras la solución por medio de la Transformada inversa de Laplace. Todo esto es gracias a sus múltiples propiedades, por ejemplo es un operador lineal qué tiene inversa lineal y muchas otras.
En este video expongo la definición de la Transformada de Laplace, menciono algunas de sus propiedades, y la aplico en una ecuación diferencial de segundo orden. Te dejo algunos cálculos como sugerencia para que tengas un aprendizaje sólido realizando los cálculos que son sencillos. Espero que te sea de gran utilidad.


 

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miércoles, 13 de abril de 2016

Ecuación de Ricatti

La ecuación de Ricatti fue inventada estudiando la dinámica de fluidos, hay dos propuestas para resolverla, una desarrollada por Bernoulli y otra propuesta por Euler, en este video expongo la técnica desarrollada por Bernoulli, mediante dos cambios de variable, se transforma primero en una ecuación de Bernoulli, y luego en una ecuación lineal. También resuelvo un ejemplo de principio a fin con todos sus cambios de variable Recuerda que para resolverla por completo se necesita conocer una solución particular. Espero que te sirva este video.






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Proyección ortogonal



Dados dos vectores en $u,v \in\mathbb{R}^{n}$ se define la proyeccion ortogonal de $v$ sobre $u$ como el vector $w=v-\frac{<u,v>}{\|u\|^{2}}u$.

El vector $w$ tiene la propiedad de ser ortogonal a $u$ para comprobarlo hay que calcular el producto punto de $u$ con $w$.

$<w,u>=<v,u>-\frac{<v,v>}{\|u\|^{2}}\|u\|^{2}=<u,v>-<u,v>=0$







Apuntes originales :)
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