viernes, 26 de febrero de 2016

Isometrías en el plano (Simetrías)

Las isometrías son las transformaciones que preservan las distancias, son más comunmente conocidas como SIMETRÍAS. Las conoce todo el mundo desde el kinder sin darse cuenta, aquí te las presento de una manera más formal, solo necesitas tener poquitas bases de geometría analítica, el plano cartesiano, coordenadas, y tal vez, ganas de dibujar y experimentar en tu cuaderno.

Hay 3 tipos de isometrías,  las analizaremos en el plano cartesiano $\mathbb{R}^{2}$ . Puedes comenzar dibujando el plano cartesiano en tu cuaderno.


Traslaciones

Trasladar es sumar un vector fijo $u\mapsto u+v_{0}$.

Las traslaciones no dejan fijo ningún punto, pero dejan invariantes todas las rectas paralelas al vector de traslación. Solo hay una traslación que deja todo el plano fijo, pero no tiene chiste porque esa traslación es sumar el vector $(0,0)$.


Rotaciones 

Consisten en dejar un punto fijo y a partir de ahi, trazar lineas hacia los puntos del plano, ahora en lugar de sumar un vector fijo, se suma un ángulo fijo. Las rotaciones más fáciles de manejar son aquellas que fijan el origen de coordenadas, es decir el punto $(0,0)$. En este caso se fija el origen de coordenadas y se suma un ángulo $\gamma$ a todas las flechas. Escribiendo en forma polar los vectores la traslación se expresa como: $r(cos\theta,sen\theta)\mapsto r(cos(\theta+\gamma),sen(\theta+\gamma) )$.

Las rotaciones solo dejan fijo un punto pero dejan invariantes todos los círculos con centro en ese punto. Hay una rotación que deja a todos los puntos del plano fijo, es la rotación trivial cuando el ángulo de rotación es cero, $\gamma=0$.
Las rotaciones se pueden representar en forma matricial, cada rotación tiene asociada una matriz cuadrada que está caracterizada por medio del ángulo de rotación. Las matrices de rotación tienen la característica de que su inversa es su transpuesta y tienen determinante 1.


La matriz de una rotación con centro en el origen y ángulo de rotación $\theta$ en el plano es:

$\left[ \begin{array}{cc} \cos\theta & \sin\theta \\
-\sin\theta & \cos\theta \end{array} \right]$

Reflexiones 

Fijar una recta y cada punto mandarlo a su opuesto con respecto a la recta trazando la linea perpendicular a la recta que pasa por ese punto. Un ejemplo sencillo de reflexión por el eje Y sería $(x,y)\mapsto (-x,y) $

Observemos que las reflexiones dejan fijo el eje de reflexión y dejan invariantes a todas las rectas perpendiculares al eje de reflexión.

Las reflexiones invierten la orientación. Véase el siguiente dibujo.





Con esta información de las isometrías, podemos hacer un análisis muy parecido en el espacio de tres dimensiones $\mathbb{R}^{3}$ . Sabiendo aplicar las isometrías podemos hallar las parametrizaciones y ecuaciones de curvas transformadas por isometrías de traslación, rotación y reflexión. Las isometrías ayudan a encontrar las ecuaciones más sencillas (canónicas) de curvas y superficies.

Matrices de rotación y reflexión en el plano



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Les dejo un playlist de pura Geometría
https://www.youtube.com/playlist?list=PLW_W6Kqqwzr7DJLrPbLfOiQ8aeM_Ovxi7

jueves, 25 de febrero de 2016

¿Quién busca un tianguis en jueves?

No sé a ti, pero a mi me encanta ir a los tianguis a pensar cosas, y qué mejor si es a uno nuevo cada vez. Te confieso que me he pasado mis buenos ratos buscando en la red referencias sobre algunos tianguis entre semana, pues definitivamente pasar por un tlacoyito antes de dar clase, le da un sentido diferente a mi día. Hoy te voy a recomendar uno lleno de delicias que está en San Angel, si es que pasas por ahí algún jueves.

Entérate exactamente dónde está y cómo se ve este tianguis de jueves en San Angel.








miércoles, 24 de febrero de 2016

Atlanta (de los Stone Temple Pilots)

ATLANTA...

Hacía meses que escuchaba esa canción diario en las mañanas, de repente me aburro de escuchar la misma música y busco algo nuevo que escuchar, debo decir que no soy muy fácil de complacer, y cuando encuentro algo que me atrapa, me quedo por días y días asimilándolo, disfrutándolo como si fuera un perfume sutil que se va revelando muy poco a poco. Así me pasó con Atlanta, por alguna razón me traía un ambiente melancólico delicioso para mi que soy darks jaaja (chiste local pero no imposible de entender). Pensé que algún día le haría un cover a esa canción y alguna vez la toqué en el teclado, en el teclado me encantó el sonido de sus acordes. De tanto escucharla se le pegó a mi Luis (Antra) y cuando menos me di cuente, él ya la cantaba. Así que un día en la mañana lo grabé cantándola y definitivamente me decidí a armarla bien. En eso andaba cuando recibí la noticia de la muerte de Scott Weiland, lo cual obviamente me impresionó porque en esos días estaba muy conectada con su voz y no solo por Atlanta, sino que me di cuenta de que realmente soy fan de los Stone Temple Pilots, es curioso pero escuchaba varias de ellos sin saber que eran de ellos! En fin, últimamente tuve muchísimas cosas de trabajo no musical que hacer, y por eso me tardé tanto en terminar mi cover, pero aquí está. Ya se me ocurrieron varias cositas que cambiarle pero lo haré poco a poco y presentaré una segunda versión. Además habrá una versión en video muy pronto.

En la voz masculina: Antra Hernández (mi Luis)
En la voz femenina y todos los demás instrumentos, piano, batería, guitarra: Rocío Azul, o sea yo.

Ojalá que les guste :D


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